Упражнения и методические рекомендации для подготовки учащихся к сдаче заданий уровня А

Ответ: 2.

Второе решение. Известно, что если a≥0, b≥0, то . При этом равенство достигается в том и только в том случае, если . Тогда . В нашем случае равенство достигается только при . При х=0 функция принимает наименьшее значение. Отсюда получаем, что наименьшее значение исходной функции равно 2 и достигается оно при х=0.

Третье решение. Перепишем формулировку, заданную функцию следующим образом: . В декартовой системе координат рассмотрим точки . Тогда

1)

2) Точка D расположена на прямой .

З) Значение исходной функции равно сумме расстояний AD+BD.

В таком случае все сводится к решению известной геометрической задачи: на прямой СD найти такую точку D, чтобы сумма расстояний АD+ВD была наименьшей.

Для решения отображаем А симметрично относительно СD. Обозначим новую точку Теперь соединим точки В и . Расстояние B и будет наименьшим. Так как АВ=1, А, то При этом легко доказать, что прямая B проходит через точку С.

Четвертое решение. Для определения наименьшего значения применим производную: .

Найдем критические точки: .

Комментарий.

Решая данное уравнение, получаем, что х=0. Исследовав значения производной, приходим к выводу, что в этой критической точке – наименьшее значение функции.

Теперь видно, что стандартное исследование поведения функции по производной достаточно сложно (попробуйте его реализовать). Поэтому подготовка учащихся к ЕГЭ должна предусматривать обучение поиску наибольшего и наименьшего значений без производных (это должно проводиться в 8–10 классах).

Задание 7.

Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Сразу видно, что применение производной приведет к серьезным осложнениям. Поступим иначе. Рассмотрим функции и . Легко убедиться, выделяя квадрат подкоренного выражения и учитывая свойство монотонности функции , что первая функция имеет наименьшее значение при х=1. Так как при всех х, то вторая функция имеет наименьшее значение 0, и оно достигается при , т.е. при х=1+2n, . Среди чисел вида х=1+2n, содержится число 1. Отсюда следует, что функции и принимают свои наименьшие значения при х=1. Следовательно, исходная функция принимает наименьшее значение при х=1. .

Конкурентоспособность личности
Одной из важных задач образовательной политики на современном этапе становится формирование конкурентоспособности личности, ее соответствия актуальным и перспективным потребностям образования, общества и государства. Забота об образовании – забота о будущем всей России. Российская система образован ...

Психолого - дидактические основы обучения по теме "Площади фигур"
Для успешного преподавания математики каждому учителю необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Осуществление дидактических принципов обучения также является условием успешного обучения. Рассмотрим подробнее важнейшие дидактические принципы обучения математике с учетом специфики темы ...

Предпосылки, связанные с развитием мысли в области образования
Следует сказать, что отечественная философско-педагогическая мысль второй половины XIX - начала XX вв., следуя традиции, заложенной еще в 60-е годы, рассматривала задачу формирования личности учащегося в качестве приоритетной. Деятельность учителя по развитию нравственных характеристик личности уче ...