Основные дидактические функции задач по теме "Площади фигур" и их реализация в учебном процессе

Приведем подборку задач, упорядочение которых осуществлено посредством обобщения и конкретизации.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

Для решения данной задачи целесообразно рассмотреть более частные задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Задача. Дана трапеция ABCD (AB║CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Теперь, рассмотрев различные частные случаи четырехугольников, перейдем к решению основной задачи 1. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении задач 2 и 3. Итак, решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях, например, в решении следующей задачи.

Задача. Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в (n-1)-угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n-2)-угольник и т.д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику, а значит, и данному n-угольнику.

Итак, при решении рассмотренной группы задач мы осуществляли переход не только от менее частного к более общему, от частного к общему, но и от общего к частному, от более общего к менее общему, т.е. не только обобщение, но и конкретизацию.

Говоря об использовании аналогии, конкретизации, обобщения при решении задач, рассмотрим доказательство теоремы Пифагора, восходящее к Евклиду.

Задача. Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c, из которых c является гипотенузой. Докажем, что a2 + b2 = c2.

Построим на сторонах a, b, c прямоугольного треугольника подобные многоугольники, площади которых равны соответственно λa2,λb2,λc2. Если a2 + b2 = c2, то λa2 + λb2 = λc2. Очевидно, верно и обратное утверждение: если λa2 + λb2 = λc2, то a2 + b2 = c2. С помощью обобщения приходим к следующей теореме: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других многоугольников. Это обобщающее утверждение равновелико не только частному утверждению, от которого мы отправлялись, но и любому другому, например тому, которое получим, если проведем высоту из вершины прямого угла на гипотенузу.

Данное утверждение можно предложить учащимся на кружковом занятии по математике. Здесь же можно предложить школьникам, проявляющим интерес к геометрии, решить следующие задачи.

Задача. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены 4 равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата служат гипотенузами этих треугольников. Найдите площадь фигуры, составленной из квадрата и этих треугольников, если сумма катетов в каждом треугольнике равна d.

Задача. В треугольной пирамиде ABCD все ребра, выходящие из вершины D, попарно перпендикулярны. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей треугольников DAB, DBC и DCA (теорема Пифагора для треугольной пирамиды).

Задача. Докажите, что площадь черной фигуры равна сумме площадей белых фигур (рис.20).

При изучении темы "Площади" можно также установить аналогию между единицами длины и единицами площади. Познакомив учащихся с единицами измерения площадей, можно задать вопросы:

Какие единицы длины, аналогичные единицам площади вы знаете?

Какая единица площади аналогична сантиметру (метру и т.д.)? В чем сходство этих единиц?

Педагогика как наука
Общекультурное и смысложизненное (мировоззренческое) самоопределение личности, а для педагога и профессиональное, предполагает ее ориентацию в глубинных пластах той части культуры человечества, которую составляет педагогика. Она имеет длительную историю, неотделимую от истории человечества. Свое на ...

Теория интенсификации обучения Л.В. Занкова
Суть теории: программы обучения построены как расчленение целого на многообразные формы и ступени, возникновение различий в процессе движения содержания. Центральное место занимает работа по четкому разграничению разных признаков изучаемых объектов и явлений. Разграничение осуществляется в рамках п ...

Организация детских танцевальных коллективов
В настоящее время в России существует большое количество различных форм объединений любителей бальных танцев, которые называются студиями, клубами, школами, но не коллективами. Эта тенденция, которую можно считать негативной, в основном связана с социально-экономическими факторами развития нашей ст ...