Основы теории площадей

А как же быть с площадью произвольной фигуры, например, с площадью круга? Эта проблема возникает и при изложении материала школьной геометрии. Возникает необходимость расширить изучаемую область теории площадей, которую до сих пор составляло только множество всех многоугольников плоскости.

Определение: Фигура M называется квадрируемой, если для любого положительного числа e можно подобрать такие многоугольники P и Q, что P Ì M Ì Q и S(Q)-S(P) < e.

Теорема 6: На множестве всех квадрируемых фигур существует, и притом только одна, функция S, удовлетворяющая аксиомам 1, 2 и 3 измерения площадей.

Число S(F) называется площадью фигуры F, где F- квадрируемая фигура.

Замечание: Метод вычисления площади фигуры, основанный на рассмотрении многоугольников, постепенно заполняющих всю фигуру, называется методом исчерпывания (в школьных учебниках с помощью этого метода выводится формула для вычисления площади круга и не только).

О применении палетки (непосредственное измерение площадей).

Обычно говорят, что площадь S(F) фигуры F есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется эта фигура (за единицу площади берется квадрат, сторона которого равна единице длины). Однако такое наглядное пояснение не может служить точным математическим определением понятия площади. Неясно, например, каким образом из единиц площади составляется круг заданного радиуса.

Один из способов определения понятия площади основывается на рассмотрении палетки – разбиения плоскости на конгруэнтные квадраты. Пусть сторона квадрата палетки имеет длину 1. Пусть дана некоторая фигура F и пусть a1-наибольшее число квадратов, целиком содержащихся в фигуре F, и b1- наименьшее число квадратов, содержащих эту фигуру целиком. Например, фигура F содержит фигуру, составленную из 9 квадратов палетки, и содержится в фигуре, составленной из 29 квадратов, поэтому 9 ≤ S(F) ≤ 29, т.е. a1=9, b1=29 (рис.1).

Для более точной оценки можно использовать палетку, квадраты которой имеют стороны длиной 1/10 (так что в каждом квадрате прежней палетки содержится 100 квадратов новой палетки). Если, скажем, F содержит фигуру, составленную из 1716 квадратов новой палетки, и содержится в фигуре, составленной из 1925 таких квадратов, то 17,16 ≤ S(F) ≤ 19,25. Еще раз, измельчая палетку (т.е. уменьшая в 10 раз длины сторон квадратов), мы сможем еще точнее оценить S(F) и т.д.

Описанный процесс измерения используется не только для нахождения площади, но и для самого определения понятия площади. Именно, рассмотрим палетку, у которой длины сторон квадратов равны 1/10k. Пусть F содержит фигуру, составленную из ak квадратов этой палетки, и содержится в фигуре, составленной из bk таких квадратов (например, выше у нас a2=1716, b2=1925). Тогда можно сказать, что ak/102k есть значение площади фигуры F с недостатком, а bk/102k – с избытком. Неограниченно увеличивая k мы можем рассмотреть пределы: (F) = , (F) = , первый из которых называется нижней, а второй – верхней площадью фигуры F.

Если фигура такова, что эти пределы совпадают при , то фигура F называется квадрируемой, т.е. (F) = (F). Это значение рассмотренных пределов называется площадью фигуры F и обозначается через S(F), т.е. .

Нетрудно привести пример фигуры, у которой верхняя и нижняя площади не совпадают. С этой целью из квадрата площади 1 удалим крест, площадь которого меньше 1/4 (рис. 2, а). Затем в каждом из четырех оставшихся квадратов удалим по кресту так, чтобы сумма площадей всех четырех крестов была меньше 1/8 (рис. 2, б). Затем удалим 16 крестов с общей площадью меньше 1/16 и т.д. Фигуру, которая останется после бесконечного числа удаления крестов, обозначим через Q. Заметим, что общая площадь всех удаленных крестов меньше чем 1/4+1/8+1/16+…+1/2n +…, т.е. меньше 1/2 .

Методические рекомендации к проведению лабораторных работ различных видов
В предыдущих параграфах мы выделили различные виды лабораторных работ, привели примеры таких работ. Теперь рассмотрим методические рекомендации по подготовке и организации таких работ. Среди лабораторных работ в зависимости от используемых средств нами выделены следующие: лабораторные работы по обу ...

Мыслительные операции и процессы мышления
Мышление в отличие от других процессов совершается в соответствии с определенной логикой. Соответственно, мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Все эти операции являются различными сторонами ...

Психология как учебный предмет в вузе
В последнее десятилетие обозначился беспрецедентный по масштабам и темпам в истории России рост психологического образования, отвечающий потребности в психологической культуре труда, общения, жизнедеятельности людей и организаций. Открываются не только новые психологические факультеты в университет ...