Основы теории площадей

Рассмотрим основные положения теории площадей.

Начнем с определения площади многоугольника. Простым многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею. Будем рассматривать только простые многоугольники, называя их для краткости многоугольниками.

Определение: Рассмотрим множество M всех многоугольников на евклидовой плоскости. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S : M→R+ , удовлетворяющее следующим аксиомам:

Если многоугольники F и F’ равны, то S(F)=S(F’).

Если F=F1+F2 , то S(F)=S(F1)+S(F2).

S(P0)=1 , где P0 – квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне.

Положительное число S(F) называется мерой или площадью многоугольника F, квадрат P0- единичным квадратом, а аксиомы 1, 2 и 3 – аксиомами измерения площадей.

Теорема 1: (существования и единственности): В евклидовой геометрии всегда существует отображение S : M→R+ , удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, причем если выбран единичный отрезок, то это отображение единственное.

Следствие: При любом способе разложения многоугольника F на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников одна и та же.

Замечание: В школьном курсе геометрии теорема существования и единственности площади многоугольника не доказывается. Тем не менее теория площадей, изучаемая в школе, имеет определенное значение: она, опираясь на утверждение (которое принимается без доказательства), что существует отображение S : M→R+ , удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, дает возможность вычислить площади простейших многоугольников по каким-то данным, и тем самым в школьном курсе геометрии устанавливается единственность измерения простейших многоугольников. Пусть, например, для вычисления площади многоугольника F мы разбили его на треугольники и взяли сумму площадей получившихся треугольников. Понятно, что при разных способах разбиения на треугольники мы получим один и тот же результат. Но почему? В школьной геометрии ответа на этот вопрос нет. Теорема существования и единственности дает четкий ответ: при любом разбиении многоугольника на F треугольники сумма их площадей дает однозначно определенное число S(F). Из этой теоремы, а также из аксиом площади выводятся формулы для вычисления площади любого прямоугольника, параллелограмма, треугольника.

Теорема 2: Если S : M→R+ - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, то S(P)=xy, где P – прямоугольник, стороны которого равны x и y.

Теорема 3: Если S : M→R+ - отображение, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, то S(T)=xy, где T – треугольник, x – одна из его сторон, а y – соответствующая высота.

Определение: Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.

Ясно, что равновеликость есть отношение эквивалентности на множестве M всех многоугольников.

Определение: Два многоугольника F и F’ называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Можно доказать, что отношение равносоставленности тоже является отношением эквивалентности на множестве M всех многоугольников.

Теорема 4: Если многоугольники равносоставлены, то они равновелики.

Замечание: На этой теореме основан метод разложения при вычислении площади многоугольника F: данный многоугольник разлагают на конечное множество многоугольников, таких, чтобы из них можно было "сложить" многоугольник, площадь которого известна. Именно таким способом в школьном курсе геометрии находят формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

Следующее утверждение является обратным теореме 4.

Теорема 5 (Бойяи-Гервина): Если многоугольники равновелики, то они равносоставлены.

Таким образом, во множестве M всех многоугольников отношение равновеликости совпадает с отношением равносоставленности.

Тенденции современного исторического образования
Современные тенденции современного исторического образования отражены непосредственно в образовательном стандарте начального общего образования по окружающему миру. Изучение окружающего мира в начальной школе направлено на достижение следующих целей: – развитие восприятия как умения наблюдать, вооб ...

Исследование диагностических методик развития речи слабослышащих детей 3-4 лет
Развитие речи у детей играет особую роль в раннем и дошкольном возрасте и позволяет включить ребенка в естественное общение с другими детьми и взрослыми, сформировать соответствующие возрастным периодам формы общения. Одними из наиболее значимых при исследовании развития речи слабослышащих детей яв ...

Причины трудновоспитуемости подростков
Многие причины, порождающие нарушение норм поведения подростков, удаётся выявить и своевременно устранить. Вместе с тем среди факторов девиантного поведения обнаруживаются такие, для предупреждения и устранения которых ещё не найдены действенные средства. В полной мере к этой категории могут быть о ...